Question

15．如圖，已知⊙O₁與⊙O₂交于點(diǎn)M，N，MA是⊙O₁的切線與⊙O₂交于點(diǎn)A，MB是⊙O₁的切線與⊙O₂交于點(diǎn)B，延長線到點(diǎn)P，使MN=NP，PA與⊙O₁交于點(diǎn)C，PB與⊙O₂交于點(diǎn)D，求證：C、N、D三點(diǎn)共線，且CN=ND．

Answer 1

分析 連接AB、NA、BN、MC．由△MAN∽△BMN，推出$\frac{MA}{MB}$=$\frac{MN}{BN}$，因?yàn)镸N=NP，推出$\frac{MA}{MB}$=$\frac{NP}{BN}$，即$\frac{NP}{MA}$=$\frac{NB}{MB}$，推出△PNB∽△AMB，推出∠NPB=∠MAB，推出A、P、B、M四點(diǎn)共圓，推出∠MAP=∠MBD=∠MND，因?yàn)椤螩AM=∠CNM，∠CAM+∠MAP=180°，推出∠CNM+∠MND=180°，推出C、N、D三點(diǎn)共線，再證明△MCN≌△PDN，即可解決問題．

解答 證明：連接AB、NA、BN、MC．
∵M(jìn)A是⊙O₁的切線，MB是⊙O₁的切線，
∴∠MAN=∠BMN，∠AMN=∠MBN，
∴△MAN∽△BMN，
∴$\frac{MA}{MB}$=$\frac{MN}{BN}$，
∵M(jìn)N=NP，
∴$\frac{MA}{MB}$=$\frac{NP}{BN}$，
∴$\frac{NP}{MA}$=$\frac{NB}{MB}$，
∵∠PNB=∠MBN+∠BMN=∠AMN+∠BMN=∠AMB，
∴△PNB∽△AMB，
∴∠NPB=∠MAB，
∴A、P、B、M四點(diǎn)共圓，
∴∠MAP=∠MBD=∠MND，
∵∠CAM=∠CNM，∠CAM+∠MAP=180°，
∴∠CNM+∠MND=180°，
∴C、N、D三點(diǎn)共線，
∵∠MCN=∠PMB=∠NDB，
在△MCN和△PDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCN=∠PDN}\\{∠MNC=∠PND}\\{MN=PN}\end{array}\right.$，
∴△MCN≌△PDN，
∴CN=DN，
∴C、N、D三點(diǎn)共線，且CN=ND．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，本題的難點(diǎn)是證明A、P、B、M四點(diǎn)共圓，屬于中考?jí)狠S題．