Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)E是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求△ACE的面積的最大值；
（3）設(shè)P是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作DH⊥AB于H，首先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，由OC∥DH，得$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{4}$，由OA=1，推出OH=4，推出D（4，-$\frac{5}{2}$），再利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式即可．
（2）如圖2中，連接EA、EC，作EK∥OC交AD于K，設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），則K（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），EK=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2．根據(jù)S_△ACE=S_△AEK-S_△CEK，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
（3）存在．如圖3中，當(dāng)AD為矩形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)為N．P（1，b）．根據(jù)題意PN=AN=DN=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，可得方程（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）²=（1-$\frac{3}{2}$）²+（b+$\frac{5}{4}$）²，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)，檢驗(yàn)點(diǎn)Q是否在拋物線上，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作DH⊥AB于H．

對(duì)于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，令y=0，得-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵OC∥DH，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{OA}{OH}$=$\frac{1}{4}$，∵OA=1，
∴OH=4，
∴D（4，-$\frac{5}{2}$），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{4k+b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線l的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$．

（2）如圖2中，連接EA、EC，作EK∥OC交AD于K，設(shè)E（m，-$\frac{1}{2}$m²+m+$\frac{3}{2}$），則K（m，-$\frac{1}{2}$m-$\frac{1}{2}$），EK=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2．

∵S_△ACE=S_△AEK-S_△CEK=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×（m+1）-$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×m=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{4}$m+1=-$\frac{1}{4}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{16}$，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴m=$\frac{3}{2}$時(shí)，△ACE的面積最大，最大值為$\frac{25}{16}$．

（3）存在．如圖3中，當(dāng)AD為矩形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)對(duì)角線的交點(diǎn)為N．P（1，b）．

∵A（-1，0），D（4，-$\frac{5}{2}$），
∴N（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$），AD=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∵∠APD=90°，
∴PN=AN=DN=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∴（$\frac{5\sqrt{5}}{4}$）²=（1-$\frac{3}{2}$）²+（b+$\frac{5}{4}$）²，
解得b=-4或$\frac{3}{2}$（不合題意舍棄），
∴P（1，-4），
∵PN=NQ，AN=ND，
∴Q（2，$\frac{3}{2}$），
對(duì)于拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$，
∵x=2時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)Q（2，$\frac{3}{2}$）在拋物線上，
∴以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（1，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用、矩形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．