Question

4．我們知道，（$\sqrt{2}$）²=2，（4+$\sqrt{3}$）（4-$\sqrt{3}$）=4²-（$\sqrt{3}$）²=13…如果兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個(gè)非零代數(shù)式互為有理化因式．如4+$\sqrt{3}$與4-$\sqrt{3}$互為有理化因式，$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$與$\sqrt{5}$-$\sqrt{2}$互為有理化因式．
利用這種方法，可以將分母中含有二次根式的代數(shù)式化為分母是有理數(shù)的代數(shù)式，這個(gè)過程稱為分母有理化．例如：$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{1}{\sqrt{3}-2}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{（\sqrt{3}-2）（\sqrt{3}+2）}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{（\sqrt{3}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}+2}{-1}$=-$\sqrt{3}$-2
（1）$\frac{5}{\sqrt{3}}$分母有理化的結(jié)果是$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$分母有理化的結(jié)果是$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（3）$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$分母有理化的結(jié)果是$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（4）利用以上知識(shí)計(jì)算：$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）根據(jù)分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式，依此計(jì)算解答出即可；
（4）先對(duì)每個(gè)分式分母有理化，然后再相加減．

解答 解：（1）$\frac{5}{\sqrt{3}}$分母有理化的結(jié)果是$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}$分母有理化的結(jié)果是$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；
（3）$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$分母有理化的結(jié)果是$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
（4）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=-1+12$\sqrt{14}$．
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{3}$；$\sqrt{7}$-$\sqrt{6}$；$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分母有理化，兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式；一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．