Question

1．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（-3，0），點C的坐標為（1，0），點P是線段AB上的動點（點P不與點B、C重合），點Q是線段AB上的動點（點Q不與點A、B重合），點R是線段AC上的動點（點R不與點A、C重合），則△PQR周長的最小值為$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 如圖1中，作P點關于AB的對稱點P′，作P點關于AC的對稱點P″，連接P′P″，與AB交于點Q′，與AC交于點R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，此時△PQ′R′的周長最小，這個最小值=P′P″，再證明P′P″=2MN，MN最小時，△PQR周長最小，利用圖2證明當點P與點O重合時MN最小，在圖3中利用相似三角形的性質求出MN的最小值即可解決問題．

解答 解：如圖1中，
作P點關于AB的對稱點P′，作P點關于AC的對稱點P″，連接P′P″，與AB交于點Q′，與AC交于點R′，連接PP′交AB于M，連接PP″交AC于N，
此時△PQ′R′的周長最小，這個最小值=P′P″，
∵PM=MP′，PN=NP″，
∴P′P″=2MN，
∴當MN最小時P′P″最小．
如圖2中，
∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴A、M、P、N四點共圓，線段AP就是圓的直徑，MN是弦，
∵∠MAN是定值，
∴直徑AP最小時，弦MN最小，
∴當點P與點O重合時，PA最小，此時MN最�。�
如圖3中，
∵在RT△ABO中，∠AOB=90°，AO=2，OB=3，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
在RT△AOC中，∵∠AOC=90°，AO=2，CO=1，
∴AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴$\frac{1}{2}$•AC•ON=$\frac{1}{2}$•OC•AO，
∴ON=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，AN=$\sqrt{A{O}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵∠MAO=∠OAB，∠AMO=∠AOB，
∴△AMO∽△AOB，
∴$\frac{AM}{AO}=\frac{AO}{AB}$，
∴AO²=AM•AB，同理AO²=AN•AC，
∴AM•AB=AN•AC，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$，
∵∠MAN=∠CAB，
∴△AMN∽△ACB，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{MN}{4}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$，
∴MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，
∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN=$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．
故答案為$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

點評 此題主要考查了軸對稱-最短問題、圓、相似三角形的判定和性質等知識，根據(jù)兩點之間線段最短的知識找到P點的位置是解答此題的關鍵，題目比較難，屬于中考填空題中的壓軸題．