Question

（本小題滿分8分）如圖，拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心為M.

⑴ 求圓心M的坐標(biāo)；

⑵ 求⊙M上劣弧AB的長(zhǎng)；

⑶ 在拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OC和MD互相平分？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：⑴3分 ，∵     ∴

∴對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)（1，-3）

又∵拋物線與軸交點(diǎn)（，0）、（，0）

∴

作拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)，則（1，0）

∴圓心在對(duì)稱軸上，連接

∵⊙中，

∴

設(shè)⊙半徑為，則

∵（1，-3）

∴

∴

∵中

∴  解得

∴

∵

∴圓心的坐標(biāo)為（1，-1）

⑵3分，∵△BMN中，∠MNB＝90°，，

∴

∴∠NMB＝60°

∴∠AMB＝2∠NMB＝120°

∴⊙M上劣弧AB的長(zhǎng)為

⑵ 2分，若線段OC和MD互相平分，則四邊形必定是平行四邊形

∴且

∵

∴點(diǎn)即為點(diǎn)向下平移2個(gè)單位得點(diǎn)

∴點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）

【解析】這是一道關(guān)于圓與二次函數(shù)的綜合題，有一定的難度，需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)綜合利用。