Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、E（3，0） 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）。
（1）求拋物線的解析式；
（2）若拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給予證明；如果不相似，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，3）， ∴設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）， 根據(jù)題意，得， 解得， ∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；
（2）如圖，由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）， 設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為F，連接DF， ∴S四邊形ABDE=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE， ；
（3）相似，證明：如圖，過B作BG⊥DF于G， ∴  ∴BD2+BE2=20，DE2=20， 即：BD2+BE2=DE2， 所以△BDE是直角三角形， ∴∠AOB=∠DBE=90°， 且， ∴△AOB∽△DBE。