Question

已知關(guān)于x的方程x²﹣（3k+1）x+2k²+2k=0
（1）求證：無(wú)論k取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根
（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為a=6，另兩邊長(zhǎng)b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的周長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：
△=[﹣（3k+1）]²﹣4×1×（2k²+2k），
=k²﹣2k+1，
=（k﹣1）²，
∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，（k﹣1）²≥0，
∴△≥0，
所以無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）x²﹣（3k+1）x+2k²+2k=0，
因式分解得：（x﹣2k）（x﹣k﹣1）=0，
解得：x₁=2k，x₂=k+1，
∴b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
設(shè)b=2k，c=k+1，當(dāng)a、b為腰，
則a=b=6，
而a+b＞c，a﹣b＜c，
所以三角形的周長(zhǎng)為：6+6+4=16；
當(dāng)b、c為腰，
則k+1=6，
解得k=5，
∵b+c＜a，
所以這種情況不成立，
∴三角形的周長(zhǎng)為：6+6+10=22．
綜上，三角形的周長(zhǎng)為16或22．