Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點Q在AB上且AQ=2，過點Q作QR⊥AB垂足為Q，QR交折線AC-CB于R，當點Q以每秒1個單位的速度向終點B移動時，點P同時從點A出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿AB-BC-CA移動．設(shè)移動的時間為t（秒），
（1）當t=1秒時，RQ=______，△ARQ的面積是______．
（2）設(shè)△ARQ的面積是S，請寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）t為何值時PQ∥AC？
（4）當t為何值時，直線QR經(jīng)過點P？
（5）當點P在AB上運動時，以PQ為邊在AB上方作正方形．若正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部時，請計算出此時t的取值范圍．

Answer 1

解：（1），；

（2）當R在AC邊上，
由△ARQ∽△ABC得，=，RQ=（2+t），
S=（2+t）×（2+t）=（2+t）²=t²+t+，
當R在BC邊上，RQ=（8-t），S=t²+4t+；

（3）當PQ∥AC時，BQ=10-（2+t）=8-tBP=3t-10，
由△BPQ∽△BCA得：
=，
解得t=；

（4）①當Q．P均在AB上時AP=3t，AQ=2+t，
AP=AQ即3t=2+t，
t=1，
②當P在BC上時，
由△BPQ∽△BAC得=，
即：=，
t=5s，
③當P在AC上不存在QR經(jīng)過點P，
綜上當t=1s或5s時直線QR經(jīng)過點P；

（5）當點P在點Q的左側(cè)時，若點N落在AC上，
∵AP=3t，Q=2+t，
∴PQ=2+t-3t=2-2t，
∵四邊形PQMN是正方形，
∴PN=2-2t，
由△APN∽△ACB得，
即，
解得，
當點P在點Q的右側(cè)時，若點N落在BC上，BP=10-3t，
PN=PQ=2t-2由△BPN∽△BCA得，
即，
解得，
∵t=1時點P與點Q重合．
∴≤t≤且t≠1時正方形PQMN在Rt△ABC內(nèi)部．
分析：（1）根據(jù)題意得△AQR∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)求得QR，再根據(jù)三角形的面積公式求得面積；
（2）分兩種情況進行討論：①當R在AC邊上，由△ARQ∽△ABC得，S=t²+t+；②當R在BC邊上，S=t²+4t+．
（3）當PQ∥AC時，由△BPQ∽△BCA得出t；
（4）分三種情況討論即可：①當Q．P均在AB上時；②當P在BC上時；③當P在AC上不存在QR經(jīng)過點P
（5）有兩種情況：當點P在點Q的左側(cè)時，若點N落在AC上，則PQ=2+t-3t=2-2t，由△APN∽△ACB得，從而得出t；
當點P在點Q的右側(cè)時，若點N落在BC上，則由△BPN∽△BCA得，綜上兩種情況，可得出t的取值范圍．
點評：本題是一道綜合性較強的題目，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及正方形的性質(zhì)，是中考壓軸題，難度較大．