Question

如圖，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，得到△DEC，過點(diǎn)B作AD的平行線，與ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
（1）求證：D是EF的中點(diǎn)；
（2）連接BD，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，BD⊥EF？并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得△ABC≌△DEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠B=∠E，AB=DE，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得AB與DF的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得AD與BE的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AD與EF的關(guān)系，根據(jù)線段垂直平分線得判定與性質(zhì)，可得答案．

解答：（1）證明：∵△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180°，得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴∠B=∠E，AB=DE，
∴AB∥DE．
又∵BF∥AD，
∴ADFB是平行四邊形，
∴AB=DF，
∴ED=DF，
即D是EF的中點(diǎn)；
（2）當(dāng)AC=BC時(shí)，BD⊥EF．
證明：∵△ABC≌△DEC，
∴BC=CE，AC=DC．
又∵AC=BC，
∴AD=BE．
∵ADFB是平行四邊形，
∴AD=BF，
∴BE=BF．
∵DE=DF，BE=BF，
∴BD是EF的垂直平分線，
∴BD⊥EF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．