Question

11．正方形ABCD和正方形CEFG，連結(jié)BF，DF，點P為線段DF的中點，連接GP．
（1）如圖1，如果點E，G分別在邊BC、CD上，猜想BF與GP的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（2）如圖2，在如圖1的基礎(chǔ)上將正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DC=BC，CE=CG，F(xiàn)E=GF，∠DGF=∠FEB=90°，推出△BEF≌△DGF，由全等三角形的性質(zhì)得到BF=DF，于是得到結(jié)論；
（2）延長FG到H，使GH=FG，連接CH，DH，CF，通過△BCF≌△DCH，得到BF=DH，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，
∴DC=BC，CE=CG，F(xiàn)E=GF，∠DGF=∠FEB=90°，
∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠FEB=∠DGF}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△DGF，
∴BF=DF，
∵P為線段DF的中點，
∴GP=$\frac{1}{2}$DF，
∴GP=$\frac{1}{2}$BF；

（2）成立，理由如下：
延長FG到H，使GH=FG，連接CH，DH，CF，
∵GH=FG=GC，CG⊥FH，
∴FC=HC，∠FCH=90°=∠BCD，
∴∠BCF=∠HCD，
在△BCF與△DCH中，$\left\{\begin{array}{l}{FC=HC}\\{∠BCF=∠HCD}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△DCH，
∴BF=DH，
∵P，G分別是FD，F(xiàn)H的中點，
∴PG=$\frac{1}{2}$DH=$\frac{1}{2}$BF．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．