Question

20．如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE，AF分別是∠ABC，∠DAC的平分線，BE和AD交于G，試說明四邊形AGFE的形狀．

Answer 1

分析 首先證明∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明∠ABG=∠EBD，然后可證出∠AGE=∠AEG，根據(jù)等角對等邊可得AG=AE，再證明四邊形AGFE是平行四邊形，可根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得到結論．

解答 解：四邊形AGFE是菱形，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．
∵BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線．
∴∠ABG=∠EBD．
∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE，
∵AF是∠DAC的平分線，
∴AO⊥BE，GO=EO，
∵在△ABO和△FBO中$\left\{\begin{array}{l}{∠ABO=∠FBO}\\{BO=OB}\\{∠AOB=∠FOB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△FBO（ASA），
∴AO=FO，
∴四邊形AGFE是平行四邊形，
又∵AG=AE，
∴四邊形AGFE是菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定，關鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．