Question

直線y=x-2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，原點(diǎn)為O
（1）求△AOB的面積；
（2）求O到直線y=x-2的距離；
（3）是否存在過△AOB的頂點(diǎn)的直線L，把△AOB分成面積相等的兩部分，若存在，寫出直線L的解析式．

Answer 1

解：（1）如下圖所示

∵直線y=x-2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
∴A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2，0）、（0，-2），
S_△AOB===2；

（2）從圖中不難發(fā)現(xiàn)O到直線y=x-2的距離即為△AOB邊AB邊上的高，
∵AB==，
∴△AOB邊AB邊上的高OE===；

（3）①當(dāng)過△AOB頂點(diǎn)O時(shí)，如圖所示，E為直線L與直線AB的交點(diǎn)，

由題意及圖知E為線段AB的中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-1），
則直線L的解析式為y=-x，
②當(dāng)過△AOB頂點(diǎn)A時(shí)，如圖所示，E為直線L與y軸的交點(diǎn)，

由題意及圖知E為線段OB的中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-1），
則直線L的解析式為y-（-1）=x，即，
③當(dāng)過△AOB頂點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，E為直線L與x軸的交點(diǎn)，

由題意及圖知E為線段OA的中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），
則直線L的解析式為y+2=2x，即y=2x-2．
分析：（1）首先根據(jù)直線y=x-2分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，確定出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)值．再運(yùn)用S_△AOB=代入求得結(jié)果．
（2）由（1）不難確定△AOB是等腰直角三角形且O到直線y=x-2的距離即為△AOB邊AB邊上的高．運(yùn)用三角形面積公式求得OE的長(zhǎng)即可．
（3）因?yàn)椤鰽OB有三個(gè)頂點(diǎn)，因而分三種情況：①當(dāng)直線L過△AOB頂點(diǎn)O時(shí)；②當(dāng)直線L過△AOB頂點(diǎn)A時(shí)；③當(dāng)直線L過△AOB頂點(diǎn)B時(shí)討論．對(duì)每種情況都要求得頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)邊得中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)確定直線L的解析式．
點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)與三角形相結(jié)合的問題，在本題中多次用到利用兩點(diǎn)坐標(biāo)確定一次函數(shù)的解析式．