Question

17．已知反比例函數(shù)的兩支圖象關(guān)于原點對稱，利用這一結(jié)論解決下列問題：如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=kx的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象分別交于第一、三象限的點B，D，已知點A（-m，O）、C（m，0）．
（1）填空：無論k取何值時，四邊形ABCD的形狀一定是平行四邊形；
（2）①當(dāng)點B為（p，1）時，四邊形ABCD是矩形，試求p，k，和m的值；
②填空：對①中的m值，能使四邊形ABCD為矩形的點B共有2個．
（3）四邊形ABCD能不能是菱形？若能，直接寫出B點的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對稱的性質(zhì)可得四邊形ABCD的對角線互相平分，則一定是平行四邊形；
（2）①把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可求得p的值，利用待定系數(shù)法求得k的值，利用勾股定理求得m的值；
②根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對稱性，在反比例函數(shù)圖象上，連線經(jīng)過O，且連線等于AC的一定有兩組，據(jù)此即可判斷；
（3）根據(jù)四邊形ABCD的對角線一定不能垂直即可判斷．

解答 解：（1）根據(jù)對稱性可得：OA=OC，OB=OD，則四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案是：平行四邊形；
（2）①∵點B（p，1）在y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$上，
∴1=$\frac{\sqrt{3}}{p}$，解得p=$\sqrt{3}$．
把B（$\sqrt{3}$，1）代入y=kx得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵OB²=（$\sqrt{3}$）²+1²=4，
∴OB=2．
∵正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點對稱，
∴OA=OB=OC=2，
∴m=2；
②作出第一、三象限的角的平分線，交反比例函數(shù)圖象于點M、N．則MN的解析式是y=x．
當(dāng)x=m=2時，反比例函數(shù)上對應(yīng)的點是（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
直線y=x上對應(yīng)的點是（2，2）．
∵2＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在OM的延長線上，即MN＜AC．
則能使四邊形ABCD是矩形的點B共有2個，
故答案是：2；
（3）四邊形ABCD不能是菱形．
理由是：∵A（-m，0）、C（m，0），
∴四邊形ABCD的對角線AC在x軸上，
又∵點B、D分別是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)在第一、三象限的交點，
∴對角線BD和AC不可能垂直．
∴四邊形ABCD不可能是菱形．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的圖象的對稱性以及菱形的判定，正確理解正比例函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)于原點對稱是關(guān)鍵．