Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，直線BM⊥BC，點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)，過P點(diǎn)作直線PD⊥PC交直線BM于點(diǎn)D，過P點(diǎn)作線段BC的平行線EF交AC于E，交直線BM于F．
（1）△PFB是

 

三角形；
（2）試說明：△CEP≌△PFD；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段FB上時，設(shè)AE=x，PC²為y，請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上移動時，點(diǎn)D也隨之在直線BM上移動，則△PBD是否有可能成為等腰三角形？如果能，求出所有能使△PBD成為等腰三角形時的AE的長；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定,等腰直角三角形

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠ABC=45°，進(jìn)而由∠MBC=90°得出∠PBF=45°，由BC∥EF就可以得出∠BPF=45°，就可以得出PF=BF，∠BFP=90°而得出△PFB是等腰直角三角形；
（2）先由條件可以得出四邊形CBFE為矩形，關(guān)鍵矩形的性質(zhì)就可以得出CE=PF，∠CEP=∠DFP=90°，∠EPC=∠FDP就可以得出△CEP≌△PFD；
（3）先由條件可以得出AE=PE，在Rt△EPC中由勾股定理就可以得出y與x的關(guān)系式；
（4）△PBD有可能成為等腰三角形，并且只有PD=BD一種情況．當(dāng)PD=PB或PB=BD時，P點(diǎn)不在AB上，而在BA的延長線上，就有∠BPD=∠DBP=45°，就可以得出∠CPB=∠A=45°，得出點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，就有點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，就可以求出AE的值．

解答：解：（1）∵BC⊥BM，
∴∠CBM=90°．
∵EF∥BC  
∴∠EFB=90°
∵等腰Rt△ABC中   AC=BC，∠A=∠ABC=45°
∴∠ABM=45°，
∴△PFB為等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角．
（2）∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC．
∵BM⊥BC，
∴AC∥BM．
∵BC∥EF
∴四邊形CBFE為平行四邊形．
∵∠ACB=90°
∴平行四邊形CBFE為矩形，
∴EC=FB，∠CEP=∠DFP=90°，
∵△PFB為為等腰直角三角形
∴FB=FP
∴EC=FP   
∵PC⊥PD，
∴∠EPC+∠FPD=90°   
∵∠EPC+∠ECP=90°
∴∠ECP=∠FPD
在△EPC和△FDP中

∠CEP=∠DFP EC=FP    ∠ECP=∠FPD

，
∴△EPC≌△FDP（ASA）；
（3）∵∠A=45°，∠AEP=90°，
∴∠APE=45°，
∴∠A=∠APE，
∴AE=PE．
∵AE=x，
∴EP=x   
∴EC=2-x．
在Rt△EPC中由勾股定理，得
PC²=EP²+EC²，
y=x²+（2-x）²
∴y=2x²-4x+4  （0≤x≤2）
（4）解：△PBD可能為等腰三角形，
①當(dāng)點(diǎn)D在BC上方，且PD=BD時，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合∴AE=0
②如備用圖，當(dāng)點(diǎn)D在B點(diǎn)下方，且PB=BD時，
∵AE=PE=x，則PF=2-x，
∴PB=

2

PF=

2

（2-x），
∵PE=DF，
∴x=2-x+

2

（2-x），
解得：x=

2

，
∴AE=

2

．
∴能使△PBD成為等腰三角形時的AE的長為：0或

2

．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的判定的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．