Question

在△ABC中，∠C=90°，斜邊AB=10，直角邊AC、BC的長分別是關于x的方程x²-mx+3m+6=0的兩個實根，則sinA+sinB+sinA•sinB=

 

．

Answer 1

考點：解直角三角形,根與系數(shù)的關系

專題：計算題

分析：根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系得到AC+BC=m，AC•BC=3m+6，再利用勾股定理得AC²+BC²=AB²=100，變形后有（AC+BC）²-2AC•BC=100，可得到m的方程m²-2（3m+6）=100，然后解方程得到得m₁=14，m₂=-8（舍去），則AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，再根據(jù)三角函數(shù)的定義得到sinA=

BC

AB

，sinB=

AC

AB

，則sinA+sinB+sinA•sinB=

BC+AC

AB

+

BC•AC

AB2

，然后整體代入計算即可．

解答：解：如圖，
∵AC、BC的長分別是關于x的方程x²-mx+3m+6=0的兩個實根，
∴AC+BC=m，AC•BC=3m+6，
而AC²+BC²=AB²=100，
∴（AC+BC）²-2AC•BC=100，即m²-2（3m+6）=100，解得m₁=14，m₂=-8（舍去）．
∴AC+BC=14，AC•BC=3m+6=48，
∵sinA=

BC

AB

，sinB=

AC

AB

，
∴sinA+sinB+sinA•sinB=

BC+AC

AB

+

BC•AC

AB2

=

14

10

+

48

100

=

47

25

．
故答案為

47

25

．

點評：本題考查了解直角三角形：利用三角函數(shù)的定義和勾股定理求出三角形中未知的角和邊．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系．