Question

如圖，在直角坐標平面內，函數y=

m

x

（x＞0，m是常數）的圖象經過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸垂線，垂足為C，過點B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點B的坐標；
（2）若DC∥AB，當AD=BC時，求直線AB的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）將A（1，4）代入y=

m

x

，求出反比例函數解析式，利用三角形ABC的面積為4求出a的值，進而求出a的坐標；
（2）當DC∥AB，當AD=BC時，分兩種情況討論，①當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形；②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形；再分別利用待定系數法求解．

解答：（1）解：∵函數y=

m

x

(x＞0，m是常數）圖象經過A（1，4），
∴m=4．
設BD，AC交于點E，據題意，可得B點的坐標為(a，

4

a

)，D點的坐標為(0，

4

a

)，E點的坐標為(1，

4

a

)，
∵a＞1，

∴DB=a，AE=4-

4

a

．
由△ABD的面積為4，即

1

2

a(4-

4

a

)=4，
得a=3，
∴點B的坐標為(3，

4

3

)；

（2）解：∵DC∥AB，
∴當AD=BC時，有兩種情況：
①當AD∥BC時，四邊形ADCB是平行四邊形，
由AE=CE，BE=DE，得，

BE

DE

=

AE

CE

=a-1，
∴a-1=1，得a=2．
∴點B的坐標是（2，2）．
設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把點A，B的坐標代入，
得

4=k+b 2=2k+b

，
解得

k=-2 b=6.

，
∴直線AB的函數解析式是y=-2x+6．
②當AD與BC所在直線不平行時，四邊形ADCB是等腰梯形，
則BD=AC，
∴a=4，
∴點B的坐標是（4，1）．
設直線AB的函數解析式為y=cx+d，把點A，B的坐標代入，
得

4=c+d 1=4c+d.

，
解得

c=-1 d=5

，
∴直線AB的函數解析式是y=-x+5．綜上所述，所求直線AB的函數解析式是y=-2x+6或y=-x+5．

點評：此題是一道反比例函數綜合題，涉及待定系數法、平行四邊形的性質、等腰梯形的性質等內容，要仔細研究，且注意分類討論．