Question

如圖，⊙O過四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，AB=1，BC=2，則AD=

 

，BD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：連結(jié)AC．先由勾股定理求出AC²=AB²+BC²=1²+2²=5，根據(jù)圓周角定理及角平分線的定義得出AD=CD，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ADC=180°-∠ABC=90°，那么△ACD是等腰直角三角形，則AD=

2

2

AC=

2

2

×

5

=

10

2

．作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，則AE=

2

2

AB=

2

2

，CF=

2

2

BC=

2

．由S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC+S_△ADC，即可求出BD=

3 2

2

．

解答：解：如圖，連結(jié)AC．
∵∠ABC=90°，AB=1，BC=2，
∴AC²=AB²+BC²=1²+2²=5．
∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD，
∵⊙O過四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，已知∠ABC=90°，
∴∠ADC=180°-∠ABC=90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AC=

2

2

×

5

=

10

2

．
作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，則AE=

2

2

AB=

2

2

，CF=

2

2

BC=

2

．
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABD+S_△CBD=S_△ABC+S_△ADC，
∴

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF=

1

2

AB•BC+

1

2

AD•CD，
∴

1

2

BD（

2

2

+

2

）=

1

2

×1×2+

1

2

×

10

2

×

10

2

，
∴BD=

3 2

2

．
故答案為

10

2

，

3 2

2

．

點(diǎn)評：本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，角平分線的定義，直徑所對的圓周角是直角，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，勾股定理的應(yīng)用，四邊形的面積，有一定難度．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．