Question

20．如圖，在⊙O中，弦AC，BD相交于點(diǎn)M，且∠A=∠B
（1）求證：AC=BD；
（2）若OA=4，∠A=30°，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，求：
①弧CD的長(zhǎng)；
②圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，根據(jù)圓周角定理得出∠EDB=∠FCA=90°，故可得出△DEB≌△CFA，由此得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，CD，OD，OC，求出∠COA的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)得出∠EOA的度數(shù)，由弧長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論；
（3）過(guò)O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，連接OM，根據(jù)垂徑定理得到AG=$\frac{1}{2}$AC，BH=$\frac{1}{2}$BD，推出四邊形OGMH是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到GM=HM=OG=OH，得到AM=BM，解直角三角形得到AM=BM=2+2$\sqrt{3}$，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠B=∠A=30°，求得∠AOB=150°，于是得到結(jié)．

解答 （1）證明：延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，
∵BE，AF是⊙O的直徑，
∴∠EDB=∠FCA=90°．
在△DEB與△CFA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠FCA}\\{∠B=∠A}\\{EB=FA}\end{array}\right.$，
∴△DEB≌△CFA（AAS），
∴AC=BD；

解：（2）延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接DE，CD，OD，OC，
∵∠A=30°，OA=OC，
∴∠COA=180°-30°-30°=120°．
∵∠A=∠B=30°，AC⊥BD，
∴∠EOA+∠A=60°，
∴∠EOA=30°，
∴∠DOE=60°，
∴∠COD=30°，
∴l(xiāng)${\;}_{\widehat{CD}}$=$\frac{30πR}{180}$=$\frac{2}{3}$π；

（3）過(guò)O作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，連接OM，
則AG=$\frac{1}{2}$AC，BH=$\frac{1}{2}$BD，
∵AC=BD，
∴OG=OH，AG=BH，
∴四邊形OGMH是正方形，
∴GM=HM=OG=OH，
∴AM=BM，
∵OA=4，∠A=30°，
∴AG=2$\sqrt{3}$，GM=HM=OG=OH=2，
∴AM=BM=2+2$\sqrt{3}$，
在Rt△AGO與Rt△BHO中$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{OG=OH}\end{array}\right.$，
∴Rt△AGO≌Rt△BHO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOG=∠BOH=60°，
∴∠AOB=150°，
∴S_陰影=S_扇形+S_△AOM+S_△BOM=$\frac{150•π×{4}^{2}}{360}$+2×$\frac{1}{2}×$（2+2$\sqrt{3}$）×2=$\frac{20π}{3}$+4$\sqrt{3}$+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理，扇形面積的計(jì)算，全等三角形的判斷和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．