Question

如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，
（1）D為AC的中點(diǎn)，連BD，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥BD于E點(diǎn)，交BC于F點(diǎn)，連DF，求證：∠ADB=∠CDF．
（2）若D，M為AC上的三等分點(diǎn)，如圖2，連BD，過(guò)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連MF，判斷∠ADB與∠CMF的大小關(guān)系并證明．

Answer 1

（1）證明：作AG平分∠BAC，交BD于點(diǎn)G     
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
∴

∠ABG=∠CAF AB=AC ∠C=∠BAG=45°

∴△BAG≌△CAF，（ASA）
∴AG=CF，
又∵AD=CD，∠GAD=∠C=45°，
∴△AGD≌△DFC，（SAS）
∴∠ADB=∠CDF；

（2）∠ADB=∠CMF．


證明：作AG平分∠BAC，交BD于點(diǎn)G
∵∠BAC=90°，AE⊥BD，
∴∠DAE+∠ADB=∠ABE+∠ADB=90°，
∴∠ABG=∠CAF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠C=∠BAG=45°，
∴

∠ABG=∠CAF AB=AC ∠C=∠BAG=45°

∴△BAG≌△CAF，（ASA）
∴AG=CF，
又∵AD=CM，∠GAD=∠C=45°，
∴△AGD≌△CFM，（SAS）
∴∠ADG=∠CMF；
即：∠ADB=∠CMF．