Question

7．如圖，△ABC中，BE是它的角平分線，∠C=90°，D在AB邊上，以DB為直徑的半圓O經(jīng)過點E，交BC于點F．
（1）求證：AC是⊙O的切線．
（2）若∠C=30°，連接EF，求證：EF∥AB；
（3）在（2）的條件下，若AE=2$\sqrt{3}$，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得出∠BEO=∠CBE，進(jìn)而得出∠AEO=∠C=90°，即可得出答案；
（2）根據(jù)已知得出∠CEF=∠FBE=30°，進(jìn)而得出∠BEF的度數(shù)，得出∠BEF=∠OBE，進(jìn)而得出答案；
（3）得出S_△EFB=S_△EOF，由S_陰影=S_扇EOF，求出答案．

解答 （1）證明：連接OE，
∵OB=OE，
∴∠BEO=∠EBO，
∵BE平分∠CBO，
∴∠EBO=∠CBE，
∴∠BEO=∠CBE，
∴EO∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠AEO=∠C=90°，
則AC是圓O的切線；

（2）證明：∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBE=∠FBE=30°，
∴∠BEC=90°-∠FBE=60°，
∵∠CEF=∠FBE=30°，
∴∠BEF=∠BEC-∠CEF=60°-30°=30°，
∴∠BEF=∠OBE，
∴EF∥AB；

（3）解：連接OF
∵EF∥AB，
∴S_△EFB=S_△EOF，
∴S_陰影=S_扇EOF，
設(shè)圓的半徑為r，在Rt△AEO中，r=2，
∴S_陰影=S_扇EOF=$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{2π}{3}$．

點評 此題主要考查了切線的判定以及扇形面積求法、平行線的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線得出S_陰影=S_扇EOF是解題關(guān)鍵．