Question

【題目】如圖，分別以△ABC的邊AB、AC為一邊，向外作正方形ABEF和正方形AGHC像這樣的兩個正方形稱為△ABC的“依伴正方形”

（1）如圖1，連接BG，CF相交于點P，求證：BG＝CF且BG⊥CF；

（2）如圖2，點D是BC的中點，兩個依伴正方形的中心分別為O1，O2連結O1D，O2D，O1O2：，判斷△DO1O2的形狀并說明由；

（3）如圖2，若AB＝6，AC＝，∠BAC＝60°，求O1O2的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△DO1O2的形狀是等腰直角三角形；理由見解析；（3）

【解析】

(1)由SAS證明△FAC≌△BAG，得出BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，設AB與FC的交點為Q,則∠FPG＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，即可得出結論.

(2)連接FC、BG、FB、GC，證得O1D是△BCF的中位線，得出O1D＝FC，O1D∥FC，同理可得O2D是△CBG的中位線，得出O2D＝BG，O2D∥BG，推出O1D＝O2D，O1D⊥O2D，即可得出結論.

(3)作FM⊥CA交其延長線于點M，證得∠FAM＝180°﹣∠FAB﹣∠BAC＝30°，則MF＝AF＝3，AM＝3，MC＝MA+AC＝6，FC＝，推出O1D＝FC，O1O2＝O1D即可得出結論.

（1）證明：∵四邊形ABEF和四邊形AGHC是正方形，

∴AF＝AB，AC＝AG，∠FAB＝∠CAG＝90°，

∴∠FAB+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，

即∠FAC＝∠BAG，

在△FAC和△BAG中，，

∴△FAC≌△BAG（SAS），

∴BG＝CF，∠AFC＝∠ABG，

∵∠AQF＝∠BQP，

∴∠FPG＝∠ABG+∠BQP＝∠AFC+∠AQF＝90°，

∴BG⊥CF；

（2）解：△DO1O2的形狀是等腰直角三角形；理由如下：

連接FC、BG、FB、GC，如圖2所示：

由（1）得：FC＝BG，FC⊥BG，

∵O1是正方形ABEF的中心，

∴O1是BF的中點，

∵D是BC的中點，

∴O1D是△BCF的中位線，

∴O1D＝FC，O1D∥FC，

同理O2D是△CBG的中位線，

∴O2D＝BG，O2D∥BG，

∴O1D＝O2D，O1D⊥O2D，

∴△DO1O2為等腰直角三角形；

（3）解：作FM⊥CA交其延長線于點M，如圖3所示：

∵四邊形ABEF是正方形，

∴AB＝AF＝6，∠FAB＝90°，

∵∠BAC＝60°，

∴∠FAM＝180°﹣∠FAB﹣∠BAC＝30°，

∴MF＝AF＝3，AM＝tan60°FM＝FM＝3，

∴MC＝MA+AC＝6，

∴FC＝，

∴O1D＝FC＝，

∴O1O2＝O1D＝．