Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AC下方一點(diǎn)，AE∥BC且CE⊥CD于點(diǎn)C．
（1）若AC=6，BC=8，求CD的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作FD∥EC，交EA延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF，求證：EF+AF=BC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理可求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形斜邊中線是斜邊一半可以求得CD的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)FD交BC于點(diǎn)G，易證△ADF≌△BDG和△CFG≌△FCA，可得AF=BG和EF=CG即可解題．

解答：解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

BC2+AC2

=10，
∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD=

1

2

AB=5；
（2）延長(zhǎng)FD交BC于點(diǎn)G，

∵EF∥BC，
∴∠FAD=∠GBD，
在△ADF和△BDG中，

∠FAD=∠GBD AD=BD ∠ADF=∠BDG

，
∴△ADF≌△BDG，（ASA）
∴AF=BG，
∵EF∥BC，DF∥CE，
∴∠CFE=∠BCF，∠CFD=∠FCE，
在△CFG和△FCA中，

∠CFE=∠BCF CF=FC ∠CFD=∠FCE

，
∴△CFG≌△FCA（ASA），
∴EF=CG，
∵BC=BG+CG，
∴BC=EF+AF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了斜邊中線是斜邊一半的性質(zhì)，本題中求證△ADF≌△BDG和△CFG≌△FCA是解題的關(guān)鍵．