Question

2．已知正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，4），點(diǎn)B（6，0）為x軸正半軸上的一點(diǎn)．
（1）求正比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P為正比例函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△ABP為等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx求出k的值即可；
（2）設(shè)P（t，2t），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到AP²=（t-2）²+（2t-4）²，PB²=（t-6）²+（2t）²，AB²=32，再分類討論：當(dāng)AP=PB時(shí)，（t-2）²+（2t-4）²=（t-6）²+（2t）²，當(dāng)AP=AB時(shí)，（t-2）²+（2t-4）²=32，當(dāng)PB=AB時(shí)，（t-6）²+（2t）²=32，然后分別解方程求出t的值，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）把A（2，4）代入y=kx得2k=4，解得k=2，
所以正比例函數(shù)的解析式為y=2x；
（2）設(shè)P（t，2t），
AP²=（t-2）²+（2t-4）²，PB²=（t-6）²+（2t）²，AB²=（6-2）²+（0-4）²=32，
當(dāng)AP=PB時(shí)，（t-2）²+（2t-4）²=（t-6）²+（2t）²，解得t=-2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4）；
當(dāng)AP=AB時(shí)，（t-2）²+（2t-4）²=32，解得t=$\frac{10±4\sqrt{10}}{5}$，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{10+4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{10}}{5}$）或（$\frac{10-4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{10}}{5}$）；
當(dāng)PB=AB時(shí)，（t-6）²+（2t）²=32，解得t₁=$\frac{2}{5}$，t2=2（舍去），此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$）．
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-4）或（$\frac{10+4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20+8\sqrt{10}}{5}$）或（$\frac{10-4\sqrt{10}}{5}$，$\frac{20-8\sqrt{10}}{5}$）或（$\frac{2}{5}$，$\frac{4}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式．也考查了等腰三角形的判定．運(yùn)用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．