Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，∠DAE=45°，且BD=3，CE=4，求DE的長．

Answer 1

解：如圖，把△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到△AFB，連接DF；
∵△ABC為等腰直角三角形．
∴∠ABD=∠C=45°；
又∵△AFB≌△AEC，
∴BF=EC=4，AF=AE，∠ABF=∠C=45°；
∵∠ABD=45°，
∴∠DBF=∠ABD+∠ABF=90°，
∴△DBF為直角三角形，
由勾股定理，得DF²=BF²+BD²=4²+3²=5²．
∴DF=5；
因為∠DAE=45°，所以∠DAF=∠DAB+∠EAC=45°；
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
∴DE=DF=5．
分析：此題要求DE的長，就要先把DE放到一個直角三角形中，這樣才能利用角直角三角形求得此邊．所以此題就要通邊加輔助線或其它辦法．觀察此圖發(fā)現(xiàn)可以把此圖△AEC繞點A旋轉(zhuǎn)到△AFB，則△AFB≌△AEC，由勾股定理，得DF²=BF²+BD²=4²+3²=5²．所以DF=5．因為∠DAE=45°，所以∠DAF=∠DAB+∠EAC=45度．所以△ADE≌△ADF（SAS）．所以DE=DF=5．
點評：此題的關(guān)鍵是加輔助線，做幾何題加輔助線是重中之重．輔助線做的好，方法就簡單，做不好就沒法求解．