Question

已知關于x的一元二次方程x²-2mx-3m²+8m-4=0．
（1）求證：當m＞2時，原方程永遠有兩個實數根；
（2）若原方程的兩個實數根一個小于5，另一個大于2，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）△=（-2m）²-4（-3m²+8m-4）=4m²+12m²-32m+16=16（m-1）²．
∵無論m取任何實數，都有16（m-l）²≥0，
∴m取任意實數時，原方程都有兩個實數根．
自然，當m＞2時，原方程也永遠有兩個實數根．

（2）解關于x的一元二次方程x²-2mx-3m²+8m-4=0，得
x==m±2（m-1）
∴x₁=3m-2，x₂=2-m．
解已知不等式組或，
得m＜0或m＞．
即m的取值范圍是m＜0或m．
分析：（1）判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號就可以了．
（2）先求出原方程的兩個實數根，根據兩個實數根一個小于5，另一個大于2，列出不等式組，求出m的取值范圍．
點評：本題考查一元二次方程根的判別式，當△≥0時，方程有兩個實數根；同時考查了公式法解一元二次方程及解一元一次不等式組．