Question

（2013•河南）如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線y=

1

2

x+2交于C、D兩點，其中點C在y軸上，點D的坐標為（3，

7

2

）．點P是y軸右側(cè)的拋物線上一動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交CD于點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P的橫坐標為m，當m為何值時，以O(shè)、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形？請說明理由．
（3）若存在點P，使∠PCF=45°，請直接寫出相應的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）首先求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）本問采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想求解．將直線y=

1

2

x+2沿y軸向上或向下平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點，即為所求之交點．由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．聯(lián)立解析式解方程組，即可求出m的值；
（3）本問符合條件的點P有2個，如答圖2所示，注意不要漏解．在求點P坐標的時候，需要充分挖掘已知條件，構(gòu)造直角三角形或相似三角形，解方程求出點P的坐標．

解答：解：（1）在直線解析式y(tǒng)=

1

2

x+2中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）．
∵點C（0，2）、D（3，

7

2

）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴

c=2 -9+3b+c= 7 2

，解得b=

7

2

，c=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+

7

2

x+2．

（2）∵PF∥OC，且以O(shè)、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴PF=OC=2，
∴將直線y=

1

2

x+2沿y軸向上平移2個單位之后得到的直線，與拋物線y軸右側(cè)的交點，即為所求之交點．
由答圖1可以直觀地看出，這樣的交點有3個．
將直線y=

1

2

x+2沿y軸向上平移2個單位，得到直線y=

1

2

x+4，
聯(lián)立

y= 1 2 x+4 y=-x2+ 7 2 x+2

，
解得x₁=1，x₂=2，∴m₁=1，m₂=2；
將直線y=

1

2

x+2沿y軸向下平移2個單位，得到直線y=

1

2

x，
聯(lián)立

y= 1 2 x y=-x2+ 7 2 x+2

，
解得x₃=

3+ 17

2

，x₄=

3- 17

2

（在y軸左側(cè)，不合題意，舍去），∴m₃=

3+ 17

2

．
∴當m為值為1，2或

3+ 17

2

時，以O(shè)、C、P、F為頂點的四邊形是平行四邊形．

（3）存在．
理由：設(shè)點P的橫坐標為m，則P（m，-m²+

7

2

m+2），F(xiàn)（m，

1

2

m+2）．
如答圖2所示，過點C作CM⊥PE于點M，則CM=m，EM=2，
∴FM=y_F-EM=

1

2

m，∴tan∠CFM=2．
在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF=

5

2

m．
過點P作PN⊥CD于點N，則PN=FN•tan∠PFN=FN•tan∠CFM=2FN．
∵∠PCF=45°，∴PN=CN，
而PN=2FN，∴FN=CF=

5

2

m，PN=2FN=

5

m，
在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF=

FN2+PN2

=

5

2

m．
∵PF=y_P-y_F=（-m²+

7

2

m+2）-（

1

2

m+2）=-m²+3m，
∴-m²+3m=

5

2

m，整理得：m²-

1

2

m=0，
解得m=0（舍去）或m=

1

2

，
∴P（

1

2

，

7

2

）；
同理求得，另一點為P（

23

6

，

13

18

）．
∴符合條件的點P的坐標為（

1

2

，

7

2

）或（

23

6

，

13

18

）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識點．第（2）問采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問中，符合條件的點P有兩個，注意不要漏解．