Question

如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點，點E為線段BC延長線上的一點，且．過點E作EF∥CA，交CD于點F，連接OF．
（1）求證：OF∥BC；
（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．

Answer 1

（1）證明：延長EF交AD于G（如圖），
在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，
∵EF∥CA，EG∥CA，
∴四邊形ACEG是平行四邊形，
∴AG=CE，
又∵，AD=BC，
∴，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
在△CEF和△DGF中，
∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，
∴△CEF≌△DGF（AAS），
∴CF=DF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，
∴OF∥BC．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形．
證明：∵OF∥CE，EF∥CO，
∴四邊形OCEF是平行四邊形，
∴EF=OC，
又∵梯形OBEF是等腰梯形，
∴BO=EF，
∴OB=OC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OC，BD=2BO．
∴AC=BD，
∴平行四邊形ABCD是矩形．
分析：（1）延長EF交AD于G，證平行四邊形ACEG，推出DG=CE，證△CEF≌△DGF，推出DF=CF，根據(jù)三角形的中位線定理求出即可；
（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出OB=EF，推出AC=BD，根據(jù)矩形的判定即可推出結(jié)論．
點評：本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，三角形的中位線等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．