Question

如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在邊BC上，且CG=

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2

（AD+BC）．
（1）求證：四邊形DEGF是平行四邊形；
（2）連接DG，若∠ADG=2∠ADE，求證：四邊形DEGF是矩形．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接EF．利用梯形中位線定理證得四邊形EGCF是平行四邊形；然后根據(jù)已知條件推知四邊形DEGF的對(duì)邊EG=DF且EG∥DF，易證四邊形DEGF是平行四邊形；
（2）連接DG，根據(jù)已知條件推知?DEGF中的EO=DO；然后證得?DEGF的對(duì)角線EF=DG即可．

解答：（1）證明：如圖，連接EF．
∵四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，
∴EF=

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(AD+BC)，EF∥AD∥BC．
∵CG=

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2

(AD+BC)，
∴EF=CG．
∴四邊形EGCF是平行四邊形．
∴EG=FC且EG∥FC．
∵F是CD的中點(diǎn)，
∴FC=DF．
∴EG=DF且EG∥DF．
∴四邊形DEGF是平行四邊形．

（2）證明：連接EF，將EF與DG的交點(diǎn)記為點(diǎn)O．
∵∠ADG=2∠ADE，
∴∠ADE=∠EDG．
∵EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEO．
∴∠EDG=∠DEO．
∴EO=DO．
∵四邊形DEGF是平行四邊形，
∴EO=

1

2

EF，DO=

1

2

DG．
∴EF=DG，
∴平行四邊形DEGF是矩形．即四邊形DEGF是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定，正方形的判定與性質(zhì)以及梯形的中位線定理．注意，在推知四邊形DEGF是矩形時(shí)，必須先說(shuō)明四邊形DEGF是平行四邊形．