Question

已知二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+1的圖象交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），且A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，4）．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）若平行于x軸的直線(xiàn)l過(guò)（0，-1）點(diǎn)，試判斷以線(xiàn)段AB為直徑的圓與直線(xiàn)l的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）把二次函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位，再向下平移t個(gè)單位（t＞0），得到的二次函數(shù)的圖象與x軸交于M，N兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象交y軸于F點(diǎn)．當(dāng)t為何值，過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的面積最��？

Answer 1

解：（1）把A（-4，4）代入y=kx+1得：，
∴一次函數(shù)的解析式為；

（2）由，
解得或，
∴，
過(guò)A，B點(diǎn)分別作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為A'，B'，
則，
∴直角梯形AA'B'B的中位線(xiàn)長(zhǎng)為，
過(guò)B作BH垂直于直線(xiàn)AA'于點(diǎn)H，則BH=A'B'=5，，
∴，
∴AB的長(zhǎng)等于AB中點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離的2倍，
∴以AB為直徑的圓與直線(xiàn)l相切．

（3）（方法一） 平移后二次函數(shù)解析式為，
令y=0，得，，
∵過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的圓心一定在平移后拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)C為定點(diǎn)，B要使圓面積最小，圓半徑應(yīng)等于點(diǎn)F到直線(xiàn)x=2的距離，
此時(shí)，半徑為2，面積為4π，
設(shè)圓心為C，MN與直線(xiàn)x=2交于點(diǎn)E，連接CM，則CE⊥MN，ME=NE，CE=OF=1，
在直角三角形CEM中，，
∴，而MN=|x₁-x₂|=，從而求得 ，
∴當(dāng)時(shí)，過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓面積最��；

（方法二） 設(shè)圓心為C，半徑為r，
由=0，得，
∴ME=NE=2
則CE===，
∴點(diǎn)C（2，），
又F（0，1）∴由CF=r得：，
整理得，
∴當(dāng)時(shí)，過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓面積最�。�
分析：（1）已知了一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，可將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入一次函數(shù)中，即可求出一次函數(shù)的解析式．
（2）求直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系需知道圓心到直線(xiàn)的距離和圓的半徑長(zhǎng)．由于直線(xiàn)l平行于x軸，因此圓心到直線(xiàn)l的距離為1．因此只需求出圓的半徑，也就是求AB的長(zhǎng)，根據(jù)（1）中兩函數(shù)的解析式即可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出AB的長(zhǎng)．然后判定圓的半徑與1的大小關(guān)系即可．
（3）先設(shè)出平移后拋物線(xiàn)的解析式，不難得出平移后拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=2．因此過(guò)F，M，N三點(diǎn)的圓的圓心必在直線(xiàn)x=2上，要使圓的面積最小，那么圓心到F點(diǎn)的距離也要最�。ㄔO(shè)圓心為C），即F，C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此圓的半徑就是2．C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）（可根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出F點(diǎn)的坐標(biāo)）．可設(shè)出平移后的拋物線(xiàn)的解析式，表示出MN的長(zhǎng)，如果設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為E，那么可表示出ME的長(zhǎng)，然后在直角三角形MEC中根據(jù)勾股定理即可確定平移的距離．即t的值．（也可根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)求出M，N點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出平移后的拋物線(xiàn)的解析式，經(jīng)過(guò)比較即可得出平移的距離，即t的值）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的平移、勾股定理，二次函數(shù)的最值，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，解二元二次方程組等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，綜合考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．