Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為矩形，，，為直線上一動點(diǎn)，將直線繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn)交直線于點(diǎn)；

（1）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不與重合）時，求證：OA·BQ=AP·BP；

（2）在（1）成立的條件下，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，線段的長度為，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并判斷是否存在最小值，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。

（3）直線上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）證明：∵四邊形OABC為矩形

∴∠OAP=∠QBP=90°,

∵∠OPQ=90°, ∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP

∴∠BPQ=∠AOP, ∴△AOP∽△BPQ

∴

∴OA·BQ=AP·BP   -

(2)             由（1）知OA·BQ=AP·BP   

(3)             ∴3×BQ=m(4-m)  ∴BQ=

∴CQ=3-=

即L=    (0＜m＜4)

=

∴當(dāng)m=2 時，   L（最小）= 

(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ為等腰三角形，則PO=PQ .

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，如圖 (1)              

△     AOP≌△BPQ  ∴PB=AO=3 

△     ∴AP=4-3=1

∴(1,3)

(圖1)

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上時，如圖（2）            

此時△QBP≌△PAO 

∴PB=AO=3  ∴AP=4+3=7              

∴(7,3)

                             （圖2）

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上時，如圖 （3）        

此時∵PB＞AB＞AO,

∴△PQB不可能與△OPA全等,

即PQ不可能與PO相等,

此時點(diǎn)P不存在.

綜上所述，知存在(1,3), (7,3).

                                                

（圖3）