Question

如圖，已知在△ABC中，BC=6，∠B=45°，cotC=．
（1）求△ABC的面積；
（2）如果⊙A與以BC為直徑的⊙0相切，求⊙A的半徑．

Answer 1

解：（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D．
∵在△ABC中，∠B=45°，
∴∠BAD=∠B=45°，
∴BD=AD．
∵cotC=，
∴==，
∵BC=BD+CD=6，
∴AD=BD=4，CD=2，
∴S_△ABC=BC•AD=×6×4=12，即△ABC的面積是12；

（2）設兩圓相切于點E．
如圖1，連接兩圓圓心OA．
由（1）知，CD=2，AD=4．
∵OC=BC=3，
∴OD=3-2=1，
∴在直角△AOD中，根據勾股定理知，AO===，
∴AE=AO-OE=-3，即⊙A的半徑是-3．
如圖2，連接AE．
則⊙A的半徑=AO+OE=+3．
綜上所述，⊙O的半徑是-3，或+3．
分析：（1）如圖，過點A作AD⊥BC于點D．構建等腰直角三角形ABD和直角△ACD．利用等腰直角三角形的性質、銳角三角函數的定義求得AD=BD=4，CD=2，則易求△ABC的面積；
（2）如圖，連接兩圓圓心OA．設兩圓相切于點E．在直角△AOD中利用勾股定理可以求得AO的長度，則AE=AO-OE=AO-BC．或AE=AO+OE．
點評：本題考查了勾股定理，相切兩圓的性質．相切兩圓的圓心距等于兩圓半徑之和．