Question

（1）學(xué)習心得：小剛同學(xué)在學(xué)習完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺到有一些幾何問題，如果添加輔助圓，運用圓的知識解決，可以使問題變得非常容易．

例如：如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是△ABC外一點，且AD=AC，求∠BDC的度數(shù)．若以點A為圓心，AB為半徑作輔助圓⊙A，則點C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC=

 

．
（2）問題解決：
如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度數(shù)．
（3）問題拓展：
拋物線y=-

1

4

(x-1)2+3與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C，點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．
①若含45°角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點D在BQ上，另一頂點E在PQ上，求Q的坐標；
②若含30°角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圓，得出∠BDC=∠BAC，
（3）①先求出拋物線頂點的坐標，再由點D、C、Q、E共圓，得出∠CQB=∠OED=45°，求出CQ，再求點Q的坐標．
②分兩種情況，Ⅰ、當30°的角的頂點與點C重合時，Ⅱ、當60°的角的頂點與點C重合時，運用點D、C、Q、E共圓，求出CQ即點P的橫坐標，再代入拋物線求出點P的縱坐標，即可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD=AC，
∴以點A為圓心，點B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，
∴∠BDC=

1

2

∠BAC=40°，
（2）如圖2，

∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴點A、B、C、D共圓，
∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BDC=25°，
∴∠BAC=25°，
（3）①如圖3

∵點B為拋物線y=-

1

4

(x-1)2+3的頂點，
∴點B的坐標為（1，3），
∵45°角的直角三角板如圖所示放置，其中，一個頂點與C重合，直角頂點D在BQ上，另一頂點E在PQ上，
∴點D、C、Q、E共圓，
∴∠CQB=∠CED=45°，
∴CQ=BC=3，
∴OQ=4，
∴點Q的坐標為（4，0），
②如圖4，

Ⅰ、當30°的角的頂點與點C重合時，
∵直角三角板30°角的頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上
∴點D、C、Q、E共圓，
∴∠CQB=∠CED=60°，
∴CQ=

3

3

BC=

3

，
∴OQ=1+

3

，
∴把1+

3

代入y=-

1

4

(x-1)2+3得y=

9

4

，
∴點P的坐標是（1+

3

，

9

4

）
Ⅱ、如圖5，

當60°的角的頂點與點C重合時，
∵直角三角板60°角的頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一個頂點E在PQ上
∴點D、C、Q、E共圓，
∴∠CQB=∠CED=30°，
∴CQ=

3

BC=3

3

，
∴OQ=1+3

3

，
∴把1+3

3

代入y=-

1

4

(x-1)2+3得y=-5，
∴點P的坐標是（1+3

3

，-5）
綜上所述，點P的坐標是（1+

3

，

9

4

）或（1+3

3

，-5）．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵就是運用同弦對的圓周角相等．