Question

如圖，MN是BC邊上的垂直平分線，射線AD交MN于點M，交BC于點D，連接BM．若∠BAM=∠CAM，求證：∠BAM+∠BMN=90°．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：過點M作ME⊥AB，垂足為E，MF⊥AC，垂足為F，連接MC，由ME⊥AB，MF⊥AC，所以∠3=∠4=90°，由四邊形的內(nèi)角和為360°，可得∠BAC+∠EMF=180°，由∠1=∠2，且ME⊥AB，MF⊥AC，可得ME=MF，由MN是BC邊上的垂直平分線，可得BM=MC，進而得到Rt△BME≌Rt△CMF（HL），所以∠5=∠6，所以∠5+∠EMC=∠6+∠EMC，即：∠EMF=∠BMC，由MN是BC邊上的垂直平分線，所以BM=CM，所以∠BMN=∠CMN=

1

2

∠BMC，所以∠BAM+∠BMN=

1

2

∠BAC+

1

2

∠BMC=

1

2

（∠BAC+∠BMC）=

1

2

×180°=90°．

解答：證明：過點M作ME⊥AB，垂足為E，MF⊥AC，垂足為F，連接MC，
∵ME⊥AB，MF⊥AC，
∴∠3=∠4=90°，
∵四邊形的內(nèi)角和為360°，
即∠3+∠4+∠BAC+∠EMF=360°，
∴∠BAC+∠EMF=180°，
∵∠BAM=∠CAM，即∠1=∠2，
且ME⊥AB，MF⊥AC，
∴ME=MF，
∵MN是BC邊上的垂直平分線，
∴BM=MC，
在Rt△BME和Rt△CMF中，

BM=CM EM=FM

，
∴Rt△BME≌Rt△CMF（HL），
∴∠5=∠6，
∴∠5+∠EMC=∠6+∠EMC，
即：∠EMF=∠BMC，
∵∠BAC+∠EMF=180°，
∴∠BAC+∠BMC=180°，
∵∠BAM=∠CAM，
∴∠BAM=

1

2

∠BAC，
∵MN是BC邊上的垂直平分線，
∴BM=CM，
∴∠BMN=∠CMN=

1

2

∠BMC，
∴∠BAM+∠BMN=

1

2

∠BAC+

1

2

∠BMC=

1

2

（∠BAC+∠BMC）=

1

2

×180°=90°．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線．