Question

如圖1，長方形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，且

AB-4

+|BC-6|=0，點(diǎn)P、Q分別是邊AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)．

（1）求BD的長；
（2）①如圖2，在P、Q運(yùn)動(dòng)中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形？若能，請(qǐng)求出PA的長；若不能，請(qǐng)說明理由；
②如圖3，在BC上取一點(diǎn)E，使EC=5，那么當(dāng)△EPC為等腰三角形時(shí)，求出PA的長．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）由條件可求得AB=4，BC=6，由勾股定理可求出BD的長；
（2）①由題可知只能有∠QPC為直角，當(dāng)PQ=PC時(shí)，可證得Rt△PDC≌Rt△QAP，可求得AP的長；②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三種情況分別利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．

解答：解：
（1）如圖1，連接BD，

∵

AB-4

+|BC-6|=0，
∴AB=4，BC=6，
則在Rt△ABD中，由勾股定理可求得BD=

42+62

=2

13

；
（2）①能，AP=4，理由如下：
如圖2，由圖形可知∠PQC和∠PCQ不可能為直角，所以只有∠QPC=90°，則∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD，
∴∠QPA=∠PCD，
當(dāng)PQ=PC時(shí)，
在Rt△APQ和Rt△DCP中

∠QPA=∠PCD ∠A=∠D PQ=PC

∴△APQ≌△DCP（AAS），
∴AP=CD=4，
故在P、Q運(yùn)動(dòng)中是否能使△CPQ成為等腰直角三角形，此時(shí)AP=4；

②當(dāng)PC=EC=5時(shí)，在Rt△PCD中，CD=4，PC=EC=5，由勾股定理可求得PD=3，所以AP=AB-PD=3，
當(dāng)PC=PE=5時(shí)，如圖3，過P作PF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則FC=EF=PD=

1

2

EC=2.5，所以AP=AB-PD=6-2.5=3.5，
當(dāng)PE=EC=5時(shí)，如圖4，過E作EH⊥AD于點(diǎn)H，由可知AH=BE=1，在Rt△EHD中，EH=AB=4，EP=5，由勾股定理可得HP=3，所以AP=AH+PH=1+3=4，
綜上可知當(dāng)△EPC為等腰三角形時(shí)，求出PA的長為3、3.5或4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在（2）①中判斷出只有PQ=PC一種情況、②中分三種情況進(jìn)行討論求解是解題的關(guān)鍵．