Question

8．如圖，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABF，且交AE于點(diǎn)D，連接CD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠ABD=∠ADB，證出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，證出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，再由三角函數(shù)即可得出AD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AE∥BF，
∴∠ADB=∠CBD，
又∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
同理：AB=BC，
∴AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
又∵AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，BD=6，
∴AC⊥BD，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD=3，
∵∠ADB=30°，
∴cos∠ADB=$\frac{OD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AD=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、平行四邊形的判定、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．