Question

15．△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為B（0，0），C（4，0），頂點(diǎn)A在直線l：$y=-\frac{1}{2}x+3$上，
（1）當(dāng)△ABC是以BC為底的等腰三角形時(shí)，寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△ABC的面積為6時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)A，使△ABC為Rt△？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）作出線段BC的垂直平分線，與直線l交于點(diǎn)A，此時(shí)△ABC是以BC為底的等腰三角形，求出A坐標(biāo)即可；
（2）由△ABC面積為6，根據(jù)BC的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出A縱坐標(biāo)，即可確定出A坐標(biāo)；
（3）分三種情況考慮：∠ABC為直角；∠ACB為直角；∠BAC為直角，分別求出A坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）作出線段BC的垂直平分線，與直線l交于點(diǎn)A，連接BA，CA，此時(shí)△ABC是以BC為底的等腰三角形，如圖1所示，

∵B（0，0），C（4，0），
∴A橫坐標(biāo)為x=2，
把x=2代入y=-$\frac{1}{2}$x+3，得：y=2，即A（2，2）；
（2）∵△ABC面積為6，且BC=4，
∴$\frac{1}{2}$BC•|y_{A縱坐標(biāo)}|=6，即|y_{A縱坐標(biāo)}|=3，
把y=3代入y=-$\frac{1}{2}$x+3得：x=0；把y=-3代y=-$\frac{1}{2}$x+3得：x=12，
則A（0，3）或（12，-3）；
（3）如圖2所示，

分三種情況考慮：當(dāng)∠A₁BC=90°時(shí)，此時(shí)A₁（0，3）；
當(dāng)∠BA₂C=90°時(shí)，作A₂D⊥x軸，設(shè)OA=m，A₂D=-$\frac{1}{2}$m+3，DC=4-m，
由△A₂BD∽△CA₂D，得到A₂D²=BD•DC，即（-$\frac{1}{2}$m+3）²=m（4-m），
解得：m=3.6或m=2，此時(shí)A₂（3.6，1.2）或（2，2）；
當(dāng)∠A₃CB=90°時(shí)，此時(shí)A₃（4，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．