Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c，
（1）若a=b=1，c=﹣1，求該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若a=b=1，且當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍；
（3）若a+b+c=0，且x₁=0時(shí)，對(duì)應(yīng)的y₁＞0；x₂=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的y₂＞0，試判斷當(dāng)0＜x＜1時(shí)，拋物線與x軸是否有公共點(diǎn)？若有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若沒有，闡述理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=b=1，c=﹣1時(shí)，拋物線為y=3x²+2x﹣1，
方程3x²+2x﹣1=0的兩個(gè)根為x₁=﹣1，．
∴該拋物線與x軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，0）和（，0）；
（2）當(dāng)a=b=1時(shí)，拋物線為y=3x²+2x+c，且與x軸有公共點(diǎn)．
對(duì)于方程3x²+2x+c=0，判別式△=4﹣12c≥0，有c≤．
①當(dāng)時(shí)，由方程3x²+2x+=0，解得x₁=x₂=﹣．
此時(shí)拋物線為y=3x²+2x+與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（﹣，0）；
②當(dāng)時(shí)，x₁=﹣1時(shí)，y₁=3﹣2+c=1+c；x₂=1時(shí)，y₂=3+2+c=5+c．
由已知﹣1＜x＜1時(shí)，該拋物線與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，考慮其對(duì)稱軸為，
應(yīng)有即，
解得﹣5＜c≤﹣1．
綜上，或﹣5＜c≤﹣1．
（3）對(duì)于二次函數(shù)y=3ax²+2bx+c，
由已知x₁=0時(shí)，y₁=c＞0；x₂=1時(shí)，y₂=3a+2b+c＞0，
又∵a+b+c=0，
∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．
∴2a+b＞0．
∵b=﹣a﹣c，
∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．
∴a＞c＞0．
∵關(guān)于x的一元二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式△=4b²﹣12ac=4（a+c）²﹣12ac=4[（a﹣c）²+ac]＞0，
∴拋物線y=3ax²+2bx+c與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，頂點(diǎn)在x軸下方．
又該拋物線的對(duì)稱軸，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，
∴．
又由已知x₁=0時(shí)，y₁＞0；x₂=1時(shí)，y₂＞0，
觀察圖象，可知在0＜x＜1范圍內(nèi)，該拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．