Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在邊AB上取點D，在邊AC取點E，AD=AE=1，連結DE并延長，與線段BC的延長線交于點P．
（1）當∠B=30°時，連結AP，若△AEP與△BDP相似，求CE的長；
（2）若CE=2，BD=BC，求BP的長．

Answer 1

解：（1）∵∠B=30°∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠AED=60°=∠CEP，
∴∠EPC=30°，
∴△BDP為等腰三角形，
∵△AEP與△BDP相似，
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，
∴AE=EP=1，
在Rt△ECP中，EC=EP=；

（2）過點D作DF⊥AC于點F，如圖，且設BD=BC=x，
∵∠ACB=90°
∴AB²=AC²+BC²，
而AD=AE=1，EC=2，
∴（1+x）²=3²+x²，解得x=4
即BD=BC=4，
∴AB=5，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，即==，
∴DF=，AF=，
∴EF=1-=，
∵△EDF∽△EPC，
∴，即=，
∴CP=4，
∴BP=4+4=8．
分析：（1）由∠B=30°∠ACB=90°得∠BAC=60°而AD=AE，所以∠AED=60°=∠CEP，則∠EPC=30°，于是可判斷△BDP為等腰三角形，由于△AEP與△BDP相似，則∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，得到AE=EP=1，所以EC=EP=；
（2）過點D作DF⊥AC于點F，且設BD=BC=，根據(jù)勾股定理得到（1+x）²=3²+x²，解得x=4，即BD=BC=4，AB=5，證明△ADF∽△ABC，利用相似比計算出DF=，AF=，則EF=1-=，然后證明△EDF∽△EPC，利用相似比計算出CP=4，即可得到BP=8．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊，所截得的三角形與原三角形相似；相似三角形對應邊的比相等．也考查了含30°的直角三角形三邊的關系．