Question

14．已知：如圖，矩形ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、AC、BC分別交于點E、O、F．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）若AB=5，BC=12，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出AO=OC，∠AOE=∠COF，由ASA證出△AOE≌△COF，得出OE=OF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可得出四邊形AFCE是菱形；
（2）設(shè)AE=CF=AF=x，則BF=12-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，
∴AO=OC，∠AOE=∠COF=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四邊形AFCE為平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AFCE為菱形；
（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，
∴AE=AF=CF，
設(shè)AE=AF=CF=x，則BF=12-x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AB²+BF²=AF²，
即5²+（12-x）²=x²，
解得：x=$\frac{169}{24}$，
∴AE=$\frac{169}{24}$．

點評 本題考查了勾股定理、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)等知識點的綜合運用；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．