Question

如圖所示：點A和點C分別在射線BF和射線BE上運動（點A和點C不與點B重合），BF⊥BE，CD是∠ACB的平分線，AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，AM的反向延長線與CD交于點D．試回答下列問題：
（1）若∠ACB=30°，則∠D=

45

°，若∠ACB=70°，則∠D=

45

°  
（2）設(shè)∠ACD=x，用x表示∠MAC的度數(shù)，則∠MAC=

（45+x）

°
（3）試猜想，點A和點C在運動過程中，∠D的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請求出變化范圍；若不變，請給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義用∠ACB表示出∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和與角平分線的定義表示出∠MAC，整理即可得解；
（2）根據(jù)（1）可得∠D=45°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和解答即可；
（3）根據(jù)角的平分線定義表示出∠MAC，∠ACD，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理即可得到∠D的大小只與∠ABC有關(guān)．

解答：解：（1）∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=

1

2

∠FAC，
根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∴

1

2

∠ACB+∠D=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

1

2

×90°=45°，
即∠D的大小與∠ACB無關(guān)，等于

1

2

∠ABC，
當(dāng)∠ACB=30°，∠D=45°，∠ACB=70°，∠D=45°；

（2）根據(jù)（1）∠D=45°，
∵∠ACD=x，
∴在△ACD中，∠MAC=∠ACD+∠D=（45+x）°；

（3）不變．理由如下：
∵CD是∠ACB的平分線，
∴∠ACD=

1

2

∠ACB，
∵AM是△ABC在頂點A處的外角平分線，
∴∠MAC=

1

2

∠FAC，
根據(jù)三角形外角性質(zhì)，∠MAC=∠ACD+∠D，
∠FAC=∠ACB+∠ABC，
∴∠ACD+∠D=

1

2

（∠ACB+∠ABC），
∴

1

2

∠ACB+∠D=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ABC，
∠D=

1

2

∠ABC，
∵BF⊥BE，
∴∠ABC=90°，
∴∠D=

1

2

×90°=45°．
故答案為：（1）45，45；（2）（45+x）．

點評：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準確識圖是解題的關(guān)鍵．