Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（1，4），交x軸于A、B，交y軸于D，其中B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0）。
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，過點(diǎn)A的直線與拋物線交于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F，其中E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，若直線PQ為拋物線的對(duì)稱軸，點(diǎn)G為PQ上一動(dòng)點(diǎn)，則x軸上是否存在一點(diǎn)H，使D、G、F、H四點(diǎn)圍成的四邊形周長(zhǎng)最小，若存在，求出這個(gè)最小值及G、H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）如圖3，拋物線上是否存在一點(diǎn)T，過點(diǎn)T作x的垂線，垂足為M，過點(diǎn)M作直線MN∥BD，交線段AD于點(diǎn)N，連接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

圖1                                                  圖2                                    圖3

Answer 1

解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：， 依題意，將點(diǎn)B（3，0）代入，得： 解得：a=-1， ∴所求拋物線的解析式為：；
（2）如圖1，在y軸的負(fù)半軸上取一點(diǎn)I，使得點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱， 在x軸上取一點(diǎn)H，連接HF、HI、HG、GD、GE，則HF=HI…………………① 設(shè)過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=kx+b（k≠0）， ∵點(diǎn)E在拋物線上且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，將x=2代入拋物線， 得 ∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，3） 又∵拋物線圖像分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B、D ∴當(dāng)y=0時(shí)，， ∴x=-1或x=3 當(dāng)x=0時(shí)，y=-1+4=3， ∴點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)D（0，3） 又∵拋物線的對(duì)稱軸為：直線x=1， ∴點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于PQ對(duì)稱，GD=GE…………………② 分別將點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)E（2，3）代入y=kx+b， 得： 解得： 過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=x+1 ∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1 ∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，1） ∴=2………………………………………③ 又∵點(diǎn)F與點(diǎn)I關(guān)于x軸對(duì)稱， ∴點(diǎn)I坐標(biāo)為（0，-1） ∴………④ 又∵要使四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小，由于DF是一個(gè)定值， ∴只要使DG+GH+HI最小即可 由圖形的對(duì)稱性和①、②、③，可知， DG+GH+HF=EG+GH+HI 只有當(dāng)EI為一條直線時(shí)，EG+GH+HI最小 設(shè)過E（2，3）、I（0，-1）兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為：， 分別將點(diǎn)E（2，3）、點(diǎn)I（0，-1）代入， 得： 解得： 過A、E兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式為：y=2x-1 ∴當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)y=0時(shí)，x=； ∴點(diǎn)G坐標(biāo)為（1，1），點(diǎn)H坐標(biāo)為（，0） ∴四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為：DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④，可知： DF+EI= ∴四邊形DFHG的周長(zhǎng)最小為。	圖1
（3）如圖2，由題意可知，∠NMD=∠MDB， 要使，△DNM∽△BMD，只要使即可， 即：………………………………⑤ 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0）， 由MN∥BD，可得 △AMN∽△ABD， ∴ 再由（1）、（2）可知，AM=1+a，BD=，AB=4 ∴ ∵， ∴⑤式可寫成： 解得：或（不合題意，舍去） ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0） 又∵點(diǎn)T在拋物線圖像上， ∴當(dāng)x=時(shí)，y= ∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（，）。	圖2