Question

如圖，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，E為CD的中點．點P從A點出發(fā)，沿A-B-C的方向在矩形邊上勻速運動，速度為1cm/s，運動到C點停止．設(shè)點P運動的時間為ts．
（1）當(dāng)P在AB上，t為何值時，△APE的面積是矩形ABCD面積的

1

3

？
（2）整個運動過程中，t為何值時，△APE為等腰三角形？

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）求出矩形的面積，即可得出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可；
（2）當(dāng)P在AB上時，分為AP=AE，AP=PE，AE=PE三種情況，畫出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出即可；當(dāng)P在BC上時，根據(jù)AP、AE、PE的長度大小得出即可．

解答：解：（1）∵矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，
∴矩形ABCD的面積S=12cm×8cm=96cm²，
則

1

2

t×1×8=

1

3

×96，
解得：t=8，
即當(dāng)P在AB上，t為8時，△APE的面積是矩形ABCD面積的

1

3

；

（2）如圖1：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8cm，CD=AB=12cm，∠C=∠D=∠ABC=90°，
∵E為CD的中點，
∴DE=CE=6cm，
由勾股定理得：AE=BE=10cm，
分為兩種情況：第一種情況：當(dāng)P在AB上時，①如圖1，當(dāng)P和B重合時，AE=PE，此時△APE是等腰三角形，
此時t=12；
②如圖2：

當(dāng)AP=AE=10cm，此時△APE是等腰三角形，
此時t=10；
③如圖3：

作AE的垂直平分線，交AE于M，交AB于P，此時AP=PE，△APE是等腰三角形，
則∠PAD=∠D=∠PMA=90°，AM=ME=

1

2

AE=5cm，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠APM=90°，
∴∠1=∠APM，
∴△APM∽△EAD，
∴

AP

AE

=

AM

DE

，
∴

AP

10

=

5

4

，
∴AP=12.5，
即t=12.5；
第二種情況：當(dāng)P當(dāng)P在BC上時，如圖4：

∵AE=10cm，AP＞AB，PE＜PB，
∴AP＞12cm，PE＜10cm，
即此時AE、AP、PE不相等，
即P在BC上時，△APE不能為等腰三角形；
綜合上述：整個運動過程中，t為12或10或12.5時，△APE為等腰三角形．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出符合條件的所有情況是解此題的關(guān)鍵，用了分類討論思想，有一定的難度．