Question

4．在直角坐標(biāo)系中，已知長方形OABC的兩個頂點(diǎn)為A（4，0），B（4，3）．對角線AC所在直線為l．
（1）求線段AC的長；
（2）在y軸上是否存在使△ACP為等腰三角形的點(diǎn)P？如果有，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)長方形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)求得AB=3，BC=4，根據(jù)勾股定理即可求得AC的長；
（2）若△ACP是等腰三角形，則可能PC=AC或PC=PA或PA=AC，分別分析求解即可．

解答 解：（1）∵長方形OABC的兩個頂點(diǎn)為A（4，0），B（4，3）．
∴AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
（2）①PC為腰且PC=AC時，
由題意可知，PC=AC=5，
∴OP=3+5=8．
∴P（0，8）；
②PC為腰且PC=PA時，
由題意可知，PC=$\frac{25}{6}$，
∴OP=PC-OC=$\frac{25}{6}$-3=$\frac{7}{6}$，
∴P（0，-$\frac{7}{6}$）
③PC為底且PA=AC時，
由題意得OC=OP=3，
∴P（0，-3）；
綜上，在y軸上是存在使△ACP為等腰三角形的點(diǎn)P，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，8）或（0，-3）．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的判定，分類討論是本題的重點(diǎn)和關(guān)鍵所在．