Question

已知關于x的方程x²+（m-3）x+m=0有兩個根x₁，x₂，且0≤x₁≤2，0≤x₂≤2，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次方程根的分布

專題：

分析：根據根的判別式可得m≥9或m≤1①；由x₁≥0，x₂≥0可得x₁+x₂≥0，x₁•x₂≥0，根據根與系數的關系可求得0≤m≤3②；由x₁≤2，x₂≤2可得x₁-2≤0且x₂-2≤0，從而得到（x₁-2）+（x₂-2）≤0且（x₁-2）•（x₂-2）≥0，進而得到x₁+x₂-4≤0且x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4≥0，根據根與系數的關系可求得m≥

2

3

③；綜合①②③即可得到m的取值范圍．

解答：解：∵關于x的方程x²+（m-3）x+m=0有兩個根x₁，x₂，
∴△=（m-3）²-4×1×m≥0，
整理得：m²-10m+9≥0，
即（m-1）（m-9）≥0，
解得：m≥9或m≤1①．
∵x₁≥0，x₂≥0，
∴x₁+x₂≥0，x₁•x₂≥0，
根據根與系數的關系可得：x₁+x₂=3-m，x₁•x₂=m，
則有3-m≥0且m≥0，
解得：0≤m≤3②．
∵x₁≤2，x₂≤2，
∴x₁-2≤0且x₂-2≤0，
∴（x₁-2）+（x₂-2）≤0且（x₁-2）•（x₂-2）≥0，
∴x₁+x₂-4≤0且x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4≥0，
∴3-m-4≤0且m-2（3-m）+4≥0，
∴m≥-1且m≥

2

3

，
∴m≥

2

3

③．
綜合①②③得：

2

3

≤m≤1．
∴m的取值范圍是

2

3

≤m≤1．

點評：本題考查了根的判別式、根與系數的關系、解不等式及不等式組等知識，運用根的判別式及根與系數的關系是解決本題的關鍵．本題還可設y=x²+（m-3）x+m，從而將問題轉化為二次函數的圖象與x軸的交點問題，只需運用數形結合的思想就可解決問題．