Question

如圖，拋物線y=

1

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x²+

1

2

x-2，經(jīng)過點C（-3，h），CD⊥x軸，垂足為D點，Rt△AOB≌Rt△CDA，A、B分別在x軸，y軸上，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在兩點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形？若存在，求出點P、Q的坐標；若不存在，說請明理由．

Answer 1

分析：將點C（-3，h）代入拋物線y=

1

2

x²+

1

2

x-2，可求點C的坐標，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OA=CD=1，OB=AD=3-1=2，以AB為邊在拋物線的右側(cè)作正方形AQPB，過P作PE⊥y軸，過Q作QG垂直x軸于G，不難得出三角形ABO和三角形BPE和三角形QAG都全等，據(jù)此可求出P，Q的坐標，然后將兩點坐標代入拋物線的解析式中即可判斷出P、Q是否在拋物線上．

解答：解：在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P、Q，使四邊形ABPQ是正方形．
把點C（-3，h）代入拋物線y=

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x²+

1

2

x-2，
則h=

1

2

×（-3）²+

1

2

×（-3）-2=1，
則C點坐標為（-3，1），
∵Rt△AOB≌Rt△CDA，
∴OA=CD=1，
∴OB=AD=3-1=2，
以AB為邊在AB的右側(cè)作正方形ABPQ，過P作PE⊥OB于E，QG⊥x軸于G，可證△PBE≌△AQG≌△BAO，

∴PE=AG=BO=2，BE=QG=AO=1，
∴P點坐標為（2，1），Q點坐標為（1，-1）．
y=

1

2

x²+

1

2

x-2，當x=2時，y=1；當x=1時，y=-1．
∴P、Q在拋物線上．
故在拋物線（對稱軸的右側(cè)）上存在點P（2，1）、Q（1，-1），使四邊形ABPQ是正方形．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的應用、正方形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識點．綜合性強，涉及的知識點多，難度較大．