Question

如圖，已知在△ABC中，∠BCA=90°，D、E分別是AC、AB的中點，點F在BC延長線上，且∠CDF=∠A；
（1）求證：四邊形DECF是平行四邊形；
（2）若，四邊形EBFD的周長為22，求DE的長．

Answer 1

（1）證明：∵D、E分別是AC、AB的中點，
∴DE∥BC且DE=BC，
∴DE是△ABC的中位線，
又∵∠BCA=90°，
∴點E在線段AC的垂直平分線上，
∴CE=AE=AB，
∴∠A=∠DCE，
∵∠CDF=∠A，
∴∠DCE=∠CDF，
∴CE∥DF，
∴四邊形DECF是平行四邊形；

（2）解：設(shè)BC=3x，AB=5x．
由題（1）得CF=DE=1.5x，BE=DF=CE=2.5x，
∵四邊形EBFD的周長為22即BE+DE+DF+BF=22，
∴2.5x+2.5x+（3x+1.5x）+1.5x=22，
解得：x=2，
∴DE=1.5x=3．
分析：（1）因為D、E分別是AC、AB的中點，所以ED∥BC，又因為點F在BC延長線上，所以ED∥CF，則可求證△ADE≌△CDE，所以∠A=∠ECD，則有EC∥DF，故四邊形DECF是平行四邊形；
（2）因為AE=EC=EB=AB，所以ED=CF=BC，又因為四邊形EBFD的周長為22，所以可以求出DE的值．
點評：此題考查平行四邊形的判定方法與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時要認真領(lǐng)會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．