Question

20．已知點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心．

（1）如圖1，AI交BC于點(diǎn)D，若AB=AC=6，BC=4，求AI的長；
（2）如圖2，過點(diǎn)I作直線AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．
①若MN⊥AI，求證：MI²=BM•CN；
②如圖3，AI交BC于點(diǎn)D，若∠BAC=60°，AI=4，請直接寫出$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$的值．

Answer 1

分析 （1）過I作IE⊥AB于E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得AD的長，再設(shè)DI=EI=x，則AI=4$\sqrt{2}$-x，根據(jù)Rt△AEI中，AE²+EI²=AI²，可得方程4²+x²=（4$\sqrt{2}$-x）²，解得x=$\sqrt{2}$，即可得出DI=$\sqrt{2}$，最后根據(jù)AI=AD-DI進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）①連接BI、CI，根據(jù)△AMI≌△ANI，即可得出∠AMN=∠ANM，MI=NI，設(shè)∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，則△ACI中，∠NIC=90°-α-β，再根據(jù)∠ABC=180°-2α-2β，BI平分∠ABC，可得∠MBI=90°-α-β，進(jìn)而得到∠MBI=∠NIC，即可判定△BMI∽△INC，從而得出$\frac{BM}{IN}$=$\frac{MI}{NC}$，進(jìn)而得出MI²=BM•CN；
②過點(diǎn)N作NG∥AD，交MA的延長線于點(diǎn)G，根據(jù)∠ANG=∠AGN=30°，可得AN=AG，NG=$\sqrt{3}$AN，再根據(jù)AI∥NG，即可得出 $\frac{AM}{MG}$=$\frac{AI}{NG}$，進(jìn)而得到$\frac{AM}{AM+AG}$=$\frac{AI}{NG}$，再根據(jù)$\frac{AM}{AM+AN}$=$\frac{4}{\sqrt{3}AN}$ 變形即可得到$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：（1）如圖1，過I作IE⊥AB于E，
∵點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，
∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABD，
又∵AB=AC=6，BC=4，
∴AD⊥BC，BD=2，
∴Rt△ABD中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵∠BEI=∠BDI，∠EBI=∠DBI，BI=BI，
∴△BEI≌△BDI，
∴BD=BE=2，DI=EI，
∴AE=6-2=4，
設(shè)DI=EI=x，則AI=4$\sqrt{2}$-x，
∵Rt△AEI中，AE²+EI²=AI²，
∴4²+x²=（4$\sqrt{2}$-x）²，
解得x=$\sqrt{2}$，
∴DI=$\sqrt{2}$，
∴AI=AD-DI=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$；


（2）①如圖2，連接BI、CI，
∵I為△ABC的內(nèi)心，
∴∠MAI=∠NAI，
∵AI⊥MN，
∴∠AIN=∠AIM=90°，
∴△AMI≌△ANI，
∴∠AMN=∠ANM，MI=NI，
∴∠BMI=∠CNI，
設(shè)∠BAI=∠CAI=α，∠ACI=∠BCI=β，則△ACI中，∠NIC=90°-α-β，
∵∠ABC=180°-2α-2β，BI平分∠ABC，
∴∠MBI=90°-α-β，
∴∠MBI=∠NIC，
∴△BMI∽△INC，
∴$\frac{BM}{IN}$=$\frac{MI}{NC}$，
∴NI•MI=BM•CN，
∵NI=MI，
∴MI²=BM•CN；


②如圖3，過點(diǎn)N作NG∥AD，交MA的延長線于點(diǎn)G，
∵AI平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠ANG=∠AGN=30°，
∴AN=AG，NG=$\sqrt{3}$AN，
∵AI∥NG，
∴△MAI∽△MGN，
∴$\frac{AM}{MG}$=$\frac{AI}{NG}$，
即$\frac{AM}{AM+AG}$=$\frac{AI}{NG}$，
∴$\frac{AM}{AM+AN}$=$\frac{4}{\sqrt{3}AN}$，
即$\frac{1}{AM}$+$\frac{1}{AN}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形內(nèi)心的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，依據(jù)勾股定理列方程求解，依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式進(jìn)行變形．