Question

2．如圖，已知：?ABCD中，∠ABC=120°，分別延長AB，CB到點F，E，使得△BCF和△ABE都是等邊三角形，連接DE，DF．
（1）求證：DE=DF；
（2）連接EF，猜想△DEF的形狀并加以證明．

Answer 1

分析 （1）等邊三角形中，三條邊相等，三個角都是60°，則由60°角及平行四邊形對角相等的性質(zhì)可得∠DAE=∠DCF，即△DAE≌△FCD，得出DF=DE；
（2）同理可得出三條邊都相等，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵△ABE和△BCF都是等邊三角形，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE=AB=CD，CF=BC=AD，
∴∠BAE=∠BCF=60°，即∠DAE+∠BAD=∠DCF+∠BCD=60°，
在平行四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠DAE=∠DCF=120°，
在△DAE與△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CF}\\{∠DAE=∠FCD}\\{AE=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△FCD（SAS），
∴DF=DE；

（2）如圖，連接EF，
∵∠ABC=∠EBF=120°，∠EAD=120°，
∴∠EAD=∠EBF，
∵EA=EB，AD=BC=BF，
在△BEF與△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠EAD=∠EBF}\\{AD=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AED（SAS），
∴DE=EF，
∴DE=DF=EF，即△DEF是等邊三角形．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)，解題時注意：三條邊都相等的三角形是等邊三角形，平行四邊形的對邊相等．