Question

將直角△ABC繞直角頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′，請(qǐng)你先證明A′B′⊥AB，并利用陰影部分面積完成勾股定理的證明．
已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．
求證：a²+b²=c²．
證明：作△A′B′C≌△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′在邊BC上，
連接AA′、BB′，延長(zhǎng)B′A′交AB于點(diǎn)M．

Answer 1

證明：作△A′B′C≌△ABC，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′在邊BC上，
連接AA′、BB′，延長(zhǎng)B′A′交AB于點(diǎn)M，
∵∠A′B′C=∠ABC，∠BA′M=∠B′A′C，
∴∠BMA′=∠BCA=90°，
∴A′B′⊥AB，
∵△A′B′C≌△ABC，
∴AC=A′C=b，BC=B′C=a，AB=A′B′=c，
∵S_△ACA′+S_△BCB′=S_△ABB′-S_△AA′B，
∴b²+a²=c（c+A′M）-cA′M，
∴b²+a²=c²，
∴a²+b²=c²．
分析：首先作△A′B′C≌△ABC，再利用S_△ACA′+S_△BCB′=S_△ABB′-S_△AA′B，進(jìn)而得出a²+b²=c²．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了勾股定理的證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及三角形面積求法得出S_△ACA′+S_△BCB′=S_△ABB′-S_△AA′B是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．