Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+mx+n的圖象與y軸交于點(diǎn)N，其頂點(diǎn)M在直線y=-x上運(yùn)動(dòng)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）當(dāng)m=-2時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），當(dāng)拋物線y=-x²+mx+n在對(duì)稱軸左側(cè)的部分與△ABC的三邊有公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵y=-（x-m）²+m²+n，
∴拋物線頂點(diǎn)M坐標(biāo)為：（m，m²+n），
∵頂點(diǎn)在直線y=-x上，
∴m²+n=-m，
當(dāng)m=-2時(shí)，n=1，
∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0，1）；

（2）若點(diǎn)M在第二象限時(shí)，△MON不可能為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，
△MON不存在，若點(diǎn)M在第四象限，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，顯然只有∠OMN=90°，
如圖1，過點(diǎn)M在x軸的垂線，垂足為H，
∵∠HOM+∠MON=90°，
∠MON+∠ONM=90°，
∴∠HOM=∠ONM，
∵∠OHM=∠OMN=90°，
∴△OMN∽△MHO，
∴=，
∴OM²=MH•ON，
設(shè)M（m，-m），則MH=m，OM²=m²，而ON=-n，
∴m²=m×（-n），
即n=-m①，
又m²+n=-m②，
由①②解得：
m=，n=-；

（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，
當(dāng)點(diǎn)A（-4，2）在該拋物線上時(shí)，
-×（-4）²+4m-m²-m=2，
整理得出：m²+11m+20=0，
解得：m=，
∵在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴m只能取，
∵B（-4，-3），C（-2，2），
設(shè)直線BC的解析式為y=ax+b，
則，
解得：，
∴直線BC的解析式為：y=x+7，
代入拋物線解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，
令△=0得，（5-2m）²-4（m²+3m+14）=0，
解得：m=-，
∴≤m≤-．
分析：（1）利用頂點(diǎn)式得出M點(diǎn)坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)在直線y=-x上，得出m與n的關(guān)系，進(jìn)而得出n的值，即可得出N點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M在第二象限時(shí)，△MON不可能為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，△MON不存在，若點(diǎn)M在第四象限，當(dāng)△MON為直角三角形時(shí)，顯然只有∠OMN=90°，再利用△OMN∽△MHO，得出OM²=MH•ON，設(shè)M（m，-m），則MH=m，OM²=m²，而ON=-n，得出m²=m×（-n），又m²+n=-m求出n，m的值即可；
（3）由（1）可知，y=-x²+mx-m²-m，當(dāng)點(diǎn)A（-4，2）在該拋物線上時(shí)，-×（-4）²+4m-m²-m=2，求出m的值，再求出直線BC的解析式為：y=x+7，代入拋物線解析式得：x²+（5-2m）x+m²+3m+14=0，令△=0得m的值，進(jìn)而得出m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和根的判別式等知識(shí)，熟練利用數(shù)形結(jié)合得出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．